बीजगणित (Algebra)

● बीजगणितीय व्यंजक- 

चर एवं अचर राशियों के रूप में दो या दो से अधिक पद वाला ऐसा व्यंजक जिसमें हम अक्षरों एवं अंको के साथ जोड़-घटाव ,गुणा-भाग तथा अन्य गणितीय संक्रियाये कर सकें, बीजगणितीय व्यंजक कहलाता है

उदाहरण- 2x2 +3xy-4y

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें केवल एक पद हो एकपदीय- 2xy

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें दो पद हो द्विपदीय व्यंजक- 2xy+4y

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें दो या अधिक पद हो- त्रिपदीय, चतुर्पदीय  आदि होते है

बहुपदों का जोड़,घटाव, गुणा या भाग BODMAS नियम पर ही होता है समान पद को जोड़ा या घटाया जाता है,

दो बीजीय व्यंजको के गुणन में एक व्यंजक के प्रत्येक पद को दूसरे व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करते है

भाग की क्रिया समान ही रहती है

गुणनखंड-

बीजीय व्यंजकों का चार प्रकार से गुणनखंड कर सकते है-

1.समूहन विधि

2.त्रिपदीय व्यंजक के मध्य पद की विलोपन विधि

3.बीजगणितीय सूत्रों की प्रयोग विधि

4.चक्रीय व्यंजक की गुणनखंड विधि

1.समूहन विधि-

इसमें एक जैसे वाले पदों का समूह बनाते है

Ex- ax+bx+ay+by के गुणनखंड-

       x(a+b)+y(a+b)

       (x+y)(a+b)

2. त्रिपदीय व्यंजक के मध्य पद की विलोपन विधि-

जैसे इसमें x2 +px+q है तो q को इस प्रकार दो भागों में तोड़ते है कि दोनों भाग का गुणनफल q के बराबर हो

   उदाहरण- 

        x2 +8x+15

        x2+(5x+3x)+15

        x2+5x+3x+15

        x(x+5)+3(x+5)

        (x+5)(x+3)

3. बीजगणितीय सूत्रों की प्रयोग विधि-

इस विधि में बीजगणित के कुछ मौलिक सूत्रों का प्रयोग करके गुणनखंड किये जाते है

● (a+b)2 = a2+b2+2ab

● (a- b)² = a² – 2ab + b2

● (a-b)² = (a + b)² – 4ab

● (a + b)² = (a-b)² + (a- b)² + 4ab

● a² + b² = (a + b)² – 2ab

● a² + b² = (a – b) + 2ab

● a² – b² = (a + b) (a – b)

● (a + b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³

● (a – b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)

● (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

● (a – b)³ = a³ – b³ -3ab (a – b)

● a³ – b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

● a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

● a³ – b³ = (a – b) (a ²+ ab + b²)

● a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab (a – b)

● a + b = (a³ + b³)/(a² + ab + b²)

● a – b = (a³ – b³)/(a² + ab + b²)

● (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4)

● (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4)

● a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)

● a5 – b5 = (a – b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)

● a3+b3+c3-3abc= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

उदाहरण- 

4x2 -12x+9

(2x)2 -2× (2x)(3)+ (3)3

(a-b)2 से- (2x-3)2