क्षेत्रमिति (Mensuration)

इसमें हम पढ़ेंगे 2D/3D आकृति का क्षेत्रफल/परिमाप/आयतन इत्यादि कैसे ज्ञात करना है

क्षेत्रफल (Area)-

किसी समतल आकृति द्वारा घेरा जाने वाला स्थान अथवा आकृति की सीमाओं के अंदर के धरातल (फर्श) का परिमाण, उसका क्षेत्रफल कहलाता है ,क्षेत्रफल का मात्रक 'वर्ग इकाई' होता है

जैसे- आयत की लंबाई-5cm तथा चौड़ाई-4cm है तो क्षेत्रफल A=5×4=20 वर्ग सेमी

परिमाप (Perimeter)-

किसी समतल आकृति की सभी भुजाओं का योगफल, उसका परिमाप कहलाता है इसे परिमिति भी कहते है जिस इकाई में भुजा की माप दी गयी होती है 

जैसे- किसी त्रिभुज की भुजाएं क्रमशः 4cm,5cm व 6cm है तो परिमाप=4+5+6=15cms है

क्षेत्रफल व परिमाप सम्बंधी महत्वपूर्ण सूत्र-

1.त्रिभुज (Triangle)-

तीन भुजाओं से घिरी हुई आकृति, त्रिभुज कहलाती है इसमें तीन कोण होते है जिनका योग 180° होता है तथा किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग=180°

त्रिभुज का क्षेत्रफल= 1/2×आधार×ऊँचाई

त्रिभुज का क्षेत्रफल (हीरो का सूत्र)-

s= a+b+c/2

A=√s(s-a)(s-b)(s-c)

त्रिभुज का परिमाप=a+b+c

विषमबाहु त्रिभुज-

वह त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएं अलग-अलग माप की हो, विषमबाहु त्रिभुज कहलाता है

समबाहु त्रिभुज-

वह त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएं समान लंबाई की हो समबाहु त्रिभुज कहलाती है

त्रिभुज की भुजा a व शीर्षलम्ब की लंबाई h हो तो-

क्षेत्रफल= √3/4a2

ऊंचाई = √3/2a

परिमाप=3a

समद्विबाहु त्रिभुज-

वह त्रिभुज जिसकी कोई दो भुजाएं तथा दो कोण समान होते है समद्विबाहु कहलाता है

क्षेत्रफल=b/4√4a2-b2

ऊंचाई=1/2√4a2-b2

परिमाप=2a+b

समकोण त्रिभुज-

वह त्रिभुज जिसमें एक कोण समकोण अर्थात 90° होता है समकोण त्रिभुज कहलाता है

माना त्रिभुज का लम्ब P आधार b तथा कर्ण h हो तो -

क्षेत्रफल=1/2×आधार×लंब

परिमाप=h+b+p

कर्ण2=लम्ब2+आधार2

2.चतुर्भुज (Quadrilateral)-

चार भुजाओं से घिरी आकृति को चतुर्भुज कहते है इसमें चार कोण होते है जिनका योग 360° होता है

वर्ग (Square)-

वह चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएं समान लंबाई की हो तथा जिसके सभी कोण 90° के हो वर्ग कहलाता है

माना वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई a है तब-

(i).क्षेत्रफल=भुजा2 =a2 = ½(विकर्ण)2

(ii).परिमाप= 4×भुजा=4a

(iii).विकर्ण=a√2

आयत (Rectangle)-

वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएं बराबर तथा प्रत्येक कोण 90° का होता है आयत कहलाता है माना आयत की लंबाई व चौड़ाई क्रमशः l तथा b है तब-

(i).क्षेत्रफल- l×b

(ii).परिमाप=2(l+b)

(iii).विकर्ण=√l2+b2

समांतर चतुर्भुज-

वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएं समान तथा समांतर होती है समांतर चतुर्भुज कहलाता है

माना समांतर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएं क्रमशः a तथा b है तथा इसकी ऊंचाई h हो तो-

(i). क्षेत्रफल=a×h

(ii).परिमाप=2(a+b)

समलम्ब-

वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समांतर हो तथा दूसरा युग्म असमांतर हो समलम्ब कहलाता है

माना समलंब की समांतर भुजाएं क्रमशः a व b तथा बीच की दूरी h हो तब-

क्षेत्रफल- 1/2×(समांतर भुजाओं का योग)×ऊंचाई

समचतुर्भुज-

वह चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएं समान लंबाई तथा आमने-सामने की भुजाएं समांतर हो, समचतुर्भुज कहलाता है

माना समचतुर्भुज की भुजा a व विकर्ण क्रमशः d1 व d2 तब-

(i). क्षेत्रफल- ½×d1×d2

(ii). परिमाप=4a

समबहुभुज-

चार से अधिक समान भुजाओं वाली आकृति को समबहुभुज कहते है यदि पांच समान भुजाएं है तो आकृति समपंचभुज तथा छह समान भुजाएं हो तो समषट्भुज कहलाती है

(i). समपंचभुज का क्षेत्रफल=5a2√3/4

(ii).समषटभुज का क्षेत्रफल=6a2√3/4

n भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णो की संख्या=n(n-1)/2-n

3.वृत्त (Circle)-

किसी निश्चित बिंदु से निश्चित दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ कहलाता है यह निश्चित बिंदु वृत्त तथा निश्चित दूरी वृत्त की त्रिज्या कहलाती है

माना वृत्त की त्रिज्या r हो तो-

(i).व्यास=2r

(ii).क्षेत्रफल=πr2

(iii).परिधि=2πr

(iv).चाप की लंबाई=πrθ/180°

(v). त्रिज्यखण्ड की लंबाई=πr2θ/360°

आयतन (Volume)-

समतल अथवा ठोस वस्तुओं द्वारा घिरे हुए स्थान को आयतन कहते है एक खाली चीज में जितनी हवा भरी जा सकती है वह आयतन कहलाता है

पृष्ठीय क्षेत्रफल-

1.घनाभ का आयतन=l×b×h

2.घन का आयतन=a3