लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) ,उदाहरण व Tricks

सामान्य गणित का दूसरा चैप्टर है लघुत्तम समापवर्त्य व महत्तम समापवर्तक जिसे Short में ल.स.प. व म.स.प. कहते है

यहां मैं आपको थोड़ी basic चीजें बता हूँ फिर इसके विषय मे विस्तार से बताएंगे

● अपवर्तक अथवा गुणनखंड (Factor)-

यदि कोई संख्या a संख्या b को पूर्णतया विभाजित कर दे, तो संख्या a को b का अपवर्तक कहते है

उदाहरण- (x2+3x+2) के अपवर्तक 1,x+1,x+2 व x2+3x+2 है

● अपवर्त्य (Multiple)-

यदि कोई संख्या b संख्या a से पूर्णतया विभाजित हो जाये तो b को संख्या a का अपवर्त्य कहते है

उदाहरण- (x2 +3x+2) , x+1 का अपवर्त्य है

● समापवर्तक (Common Factor)-

ऐसी संख्याऐ, जो दो या दो से अधिक संख्याओं को पूर्णतया विभाजित करें, उन संख्याओं का समापवर्तक कहलाती है

उदाहरण- 15,30,45 के समापवर्तक- 3,5,15 है

● समापवर्त्य (Common Multiple)-

ऐसी सँख्याये जो दी गयी दो या दो से अधिक सँख्याओ में से प्रत्येक से पूर्णतया विभाजित हो, उन संख्याओं के समापवर्त्य कहलाती है

उदाहरण- 3,5 के समापवर्त्य -15,30,45.. है

● महत्तम समापवर्तक (Highest Common Factor)-

ऐसी बड़ी से बड़ी संख्या जो दी गयी दो या दो से अधिक सँख्याओ को पूर्णतया विभाजित कर दे दी गयी संख्या का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) कहलाती है

उदाहरण- 15,30,45 का महत्तम समापवर्तक-15 है

● लघुत्तम समापवर्त्य (Lowest Common Multiple)-

ऐसी छोटी से छोटी संख्या, जो दी गई दो या दो से अधिक संख्याओं में से प्रत्येक से पूर्णतया विभाजित हो दी गयी संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) कहलाती है

उदाहरण-3,5 का लघुत्तम समापवर्त्य- 15 है

★ महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य में संबंध-

दो संख्याओं का गुणनफल=म.स.प.×ल.स.प.

● म.स.प. निकालने की विधि-

इसकी दो मुख्यता विधियां है-

1.अभाज्य गुणनखंड विधि से-

उदाहरण-24,30 और 42 का म.स.प.-

    24=2×2×2×3

    30= 2×3×5

    42= 2×3×7

 उभयनिष्ठ गुणनखंड- 2×3=6 यही म.स.प. है

2. भाग विधि-  इसमें भाग देकर निकालते है

उदाहरण- 144, 180 व 192 का म.स.प. निकाले-

इसमें पहले 144 का 180 में भाग देते है

36 शेषफल बचेगा उसे पुनः 144 से भाग देते है अगर पूरा कट जाए तो 144 व 180 का म.स.प. 36 हुआ

अब 36 और 192 के साथ ही ऐसा करे तो पूरा कट जाता है अर्थात म स प हुआ जाकर 36

● ल.स.प. निकालने की विधि-

इसकी भी निकालने की दो विधियां है-

1. अभाज्य गुणनखंड विधि-

उदाहरण- 24,36 व 60 का ल.स.प.-

      24=3×2×2×2=3×23

      36= 3×3×2×2=32×22

      60= 3×2×2×5=3×22×5

इसमें बड़ी घातांको को लिखो-

    ल.स.प.- 23×32×5= 360

2. भाग विधि-

उदाहरण- 48,72 व 108 का ल.स.प.-

    इसमें एक लाइन में लिखकर निकलते है तो आपका 432 निकेलगा

★ भिन्नों का ल.स. तथा म.स. ज्ञात करो-

● म.स.- अंशो का म.स./हरों का ल.स.

● ल.स.- अंशो का ल.स./हरों का म.स.

Imp.-

A. दशमलव सँख्याओ का ल.स.प. तथा म.स.प. ज्ञात करने से पूर्व भिन्न में बदल लेना चाहिए

B. भिन्नों का ल.स.प. तथा म.स.प. ज्ञात करने से पूर्व उन्हें न्यूनतम पदों में व्यक्त कर लेना चाहिए

कुछ tricks-

● यदि दो संख्याओं के बीच अनुपात a:b हो तथा उनका म.स.प. x हो तो ल.स.प. abx होगा

● यदि दो संख्याओं का अनुपात a:b है तथा ल.स.प. x हो तो उनका म.स.प. x/ab होगा

● वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करना जिसके द्वारा x,y तथा z में भाग देने पर क्रमशः शेष a, b तथा c प्राप्त हो तो वह बड़ी से बड़ी संख्या होगी-

बड़ी संख्या- (x-a), (y-b), (z-c) का म.स.प.

● वह छोटी से छोटी संख्या जिसमें x,y तथा z से भाग देने पर प्रत्येक दशा में शेषफल k बचता हो तो वह संख्या होगी-

 छोटी संख्या- (x,y तथा z का ल.स.प.)+K

● वह छोटी से छोटी संख्या जो x, y तथा z से पूर्णतया विभाजित होगी

छोटी संख्या- x, y तथा z का ल.स.प.

● वह बड़ी से बड़ी संख्या जो x, y तथा z से भाग देने पर प्रत्येक दशा शेषफल समान रहता हो

बड़ी संख्या- (x-y), (y-z), तथा (z-x) का म.स.प.