संख्या पद्धति (Number System) , ट्रिक एवं उदाहरण

संख्या पद्धति (Number System) पूरी तरह से दाशमिक पद्धति (Decimal System) पर

ही निर्भर है इसमें दस संकेत का प्रयोग होता है

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9….

इन संकेतों को अंक या DIGIT कहते है इनसे ही असंख्य संख्याओं की रचना हुई है

विशेषताएं-

● दाशमिक पद्धति में 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 तक दस अंकों का ही प्रयोग होता है

● इन अंको से बनने वाली संख्या का दाईं से बाईं ओर का अंक इकाई, दहाई, सैकड़ा...आदि बताता है

अंकों का वास्तविक मान (Face Value)-

किसी अंक का मान कभी नहीं बदलता बल्कि वही रहता है वास्तविक मान कहलाता है

Ex- 3830 में 8 की Face Value 8 ही है,

286 में 8 की face value 8 ही रहेगी

अंकों का स्थानीय मान (Place Value)-

किसी संख्या में अंक का वह मान जो उसकी विशेष स्थिति के अनुसार बदलता रहता है उस अंक का स्थानीय मान कहलाता है

Ex- 3830 में 8 की Place Value 800 है ,

2908 में 9 की Place Value 900 है

रोमन अंक पद्धति-

इस पद्धति में I, V, X, L, C, D तथा M संकेतों का प्रयोग होता है

यहाँ-  1- I, 5- V, 10-X, L-50 , C-100, D-500 तथा M-1000

Ex- 30- XXX, 40- XL, 60-LX, 90- XC आदि

नियम-

● V, L तथा D संकेतों का प्रयोग सिर्फ एक बार ही किया जाता है

● I, X ,C तथा M का अधिक से अधिक तीन बार प्रयोग लगातार किया जा सकता है

● यदि किसी बड़े संकेत की बाई ओर छोटा संकेत लिखा जाता है तो उसे घटाकर संख्या प्राप्त करते है

● यदि किसी बड़े संकेत की दाई और छोटा संकेत लिखा जाता है तो उसे जोड़कर संख्या प्राप्त की जाती है

● यदि किसी रोमन संकेत के ऊपर बार का निशान लगा हो तो उसके मान में 1,000 का गुणा कर संख्या प्राप्त की जा जाती है

★ संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)-

● प्राकृतिक संख्याएं (Natural Numbers)-

वे संख्याये, जो वस्तुओं की गणना करने में प्रयुक्त की जाती है , प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती है अर्थात 1,2,3,4…..को प्राकृतिक संख्याएं कहते है इन्हें संकेत N से प्रदर्शित करते है

N= {1,2,3……..}

● पूर्ण संख्याऐं (Whole Numbers)-

यदि प्राकृतिक संख्याओं के साथ शून्य को भी सम्मिलित कर लिया जाए तो वे संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ कहलाती है इन्हें W से प्रदर्शित करते है

W={0,1,2,3……..}

● पूर्णांक संख्याएं (Integers)-

पूर्ण संख्याओं में यदि ऋणात्मक संख्याएँ भी सम्मिलित कर लिया जाए तो प्राप्त संख्याये पूर्णांक संख्याएं कहलाती है इन्हें Z या I से प्रदर्शित करते है

Ex- I या Z = {........-2,-1,0,1,2,…..…}

पूर्णांक दो प्रकार के होते है-

धन पूर्णांक व ऋण पूर्णांक

Facts-

■ शून्य न तो धन पूर्णांक है न ही ऋण पूर्णांक

■ शून्य को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता है

■ सभी प्राकृतिक संख्याएं पूर्ण संख्याएं होती है

● सम संख्याएं (Even Numbers)-

वे सभी संख्याएँ, जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है सम संख्याएं कहलाती है

Ex- 2,4,6,8………

● विषम संख्याएं (Odd Numbers)-

वे सभी संख्याएं जो 2 से पूर्णतया विभाजित नहीं होती विषम संख्याये कहलाती है

Ex- 1,3,5,7,9…….

● परिमेय संख्याएं (Rational Numbers)-

एक पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक (शून्य के अलावा) से भाग देने पर जो लघुत्तम रूप प्राप्त होता है परिमेय संख्या कहलाती है

अर्थात वे सभी संख्याये जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है परिमेय संख्याएं कहलाती है

Ex- 5,½,-¾,7/3,8/9 etc

● अपरिमेय संख्याएं (Irrational Numbers)-

वे सभी संख्याएं जिन्हें p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता अपरिमेय संख्याये कहलाती है

Ex- √5,√7,√11,π , √1/2 etc

● भाज्य संख्याएं (Composite Numbers)-

वे सभी संख्याएँ जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त कम से कम एक अन्य संख्या से पूर्णतया विभाजित हो भाज्य संख्याएं कहलाती है

Ex- 4,6,8,9,10,12,14,15...etc

● अभाज्य (रूढ़) संख्याएं (Prime Numbers)-

वे सभी संख्याएँ जो 1 या स्वयं के अतिरिक्त किसी अन्य संख्या से पूर्णतया विभाजित न हो अभाज्य संख्याएँ कहलाती है

Ex- 2,3,5,7,11,13…….etc

Facts-

● 2 एक सम अभाज्य संख्या है

● 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य

● सह अभाज्य संख्याएं (Co-Prime Numbers)-

यदि दो प्राकृतिक सँख्याओ का उभयनिष्ठ गुणनखंड (म.स.) 1 हो तो संख्याएं सह अभाज्य संख्याएं कहलाती है

Ex- (4,9),(2,7),(9,2).....etc

● अत्रिभाज्य संख्याएं (Prime Triplet Numbers)-

वे तीन प्राकृतिक संख्याएं जिनका महत्तम समापवर्तक 1 हो तो अत्रिभाज्य संख्याएं कहलाती है

Ex- (8,9,25),(3,7,11) आदि

● वास्तविक संख्याएं (Real Numbers)-

परिमेय तथा अपरिमेय सँख्याओ के सम्मिलित रूप को वास्तविक संख्याएं कहलाती है इसे R से प्रदर्शित करते है

Ex- √5, ¾, π, √8 etc

सभी पूर्णांक, प्राकृतिक एवं पूर्ण संख्याएं वास्तविक संख्याएं होती है

● अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएं (Imaginary Numbers)-

जो संख्याएं वास्तविक नही है उन सँख्याओ को काल्पनिक संख्याएं कहते है

Ex- √-7 , √-9, √-11 etc

★ विभाज्यता के नियम (Rules of Divisibility)-

● 2 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या का इकाई का अंक 0,2,4,6 या 8 हो तो 2 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 24,56,98 etc

● 3 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाजित हो तो वह संख्या 3 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 1338= 1+3+3+8=15÷3=5 तो ये 3 से विभाजित है

● 4 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंक 4 से विभाजित हो तो वह संख्या 4 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 3472 में 72, 4 से विभाजित है

● 5 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के अंतिम अंक 0 या 5 हो तो वह संख्या 5 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 5670,5555 etc

● 6 से विभाज्यता-

यदि कोई संख्या 2 और 3 से पूर्णतः विभाजित हो तो वह 6 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 138

● 7 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के इकाई अंक को दोगुना करके शेष अंक से बनी संख्या में से घटा दे तो प्राप्त संख्या यदि 0 हो या 7 से विभाजित हो तो 7 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 2429 में इकाई का अंक=9

    2×9= 18

   242-18=224 

इस प्रक्रिया को दोबारा कर सकते हो

 4×2=8, 22-8=14 जो कि 7 से पूर्णतः विभाजित है

● 8 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के अंतिम तीन अंक शून्य हो या 8 से विभाजित हो तो वह 8 से पूर्णत विभाजित होगी

उदाहरण- 36000, 45512 etc

● 9 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के सभी अंको का योग 9 से विभाजित हो तो वह संख्या 9 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 362718

● 10 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के इकाई का अंक शून्य हो तो वह संख्या 10 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 23670,56780 etc

● 11 से विभाज्यता-

यदि किसी संख्या के सम स्थानों के अंको का योग तथा विषम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 हो या 11 से विभाजित हो तो वो संख्या 11 से पूर्णतः विभाजित होगी

उदाहरण- 393657

इसमें सम स्थानों के अंकों का योग- 9+6+7=22

इसमें विषम स्थानों के अंको का योग-

3+3+5=11

अंतर- 22-11= 11, ये 11 से पूर्णतः विभाजित है

★ भाज्य, भाजक, भागफल तथा शेषफल में सम्बन्ध-

भाज्य= (भाजक×भागफल)+शेषफल 

★ इकाई का अंक ज्ञात करना-

■ गुणनफल में-

इसमें प्रत्येक संख्या के इकाई के अंक को गुणा करते है बस इकाई का अंक लेते चले जाते है

Ex- 674×218×437×512

       4×8×7×2

        32×14

अब सिर्फ इकाई का अंक से- 4×2= 8

■ घातीय रूप में-

● यदि दी गई संख्या का इकाई का अंक 0,1,5,6 हो, तो उसका इकाई का अंक अपवर्तित रहता है

Ex- (576)1151 में इकाई का अंक 6 ही रहेगा

● घातीय रूप में रामबाण ट्रिक

Ex- (572)443 में इकाई का अंक

सबसे पहले power में 4 का divide करें तो

     443÷4= 110×4+3

जो 4 से पूरा पूरा चला जाए उसे हटा दे बचे हुए 3 को सिर्फ power माने

अब इसका का अंक 23 = 8 उत्तर होगा

कुछ ट्रिक/फार्मूला-

● लगातार n प्राकृतिक संख्याओं का योग- n(n+1) /2

● लगातार n सम संख्याओं का योग-

n/2(n/2+1)

● लगातार n तक विषम संख्याओं का योग-

(n+1/ 2)2

● प्रथम n विषम संख्याओं का योग- n2

● प्रथम n सम संख्याओं का योग- n (n+1)

● प्राकृतिक संख्याओं के बीच का योग-

(अंतिम संख्या + प्रथम संख्या)×(अंतिम संख्या-(प्रथम संख्या-1)) /2

धन्यवाद